De lluvias y aljibes

Estaba el otro día pensando en aljibes —un aljibe es un depósito de agua tradicionalmente destinado a recoger el agua de la lluvia—, y me preguntaba por la cantidad de agua que se podría recoger de la lluvia torrencial que cayó hace pocos días (con intensidad constante) durante $90\,\text{min}$, y que según los datos registrados tuvo una intensidad de $70$ milímetros por metro cuadrado. Pensaba en concreto en un aljibe que tenía forma de prisma recto de base rectangular de $20\,\text{m}^2$ y $1\,\text{m}$ de profundidad.

Recordemos que la precipitación se mide en milímetros de agua, o litros caídos por unidad de superficie (metro cuadrado) durante $1$ hora; es decir, se expresa de esta manera la altura de la lámina de agua recogida en una superficie plana en milímetros (por metro cuadrado) en una hora. Obsérvese por tanto que $1$ milímetro de agua de lluvia precipitada por metro cuadrado equivale a $1$ litro de agua (por metro cuadrado). En efecto, basta considerar un cuadrado de $1$ metro cuadrado de área, como base de un cubo de $1$ metro de arista, teniendo por tanto dicho cubo imaginario un volumen de $1\,\text{m}^3=1\,000\,\text{dm}^3$; así, si el agua de la lluvia lo llenase por completo, recogeríamos $1\,000\,\text{L}$, de agua, ya que $1\,\text{L}$ (capacidad) equivale a $1\,\text{dm}^3$ de volumen continente. Por consiguiente, al decir que ha caído $1\,\text{mm}$ de precipitación, nos referimos a una cantidad de lluvia de una milésima parte de $1\,000\,\text{L}$, esto es, por cada milímetro de grosor de la lámina de agua de lluvia se puede almacenar $1\,\text{L}$ de agua.

Así pues, según los datos de la precipación en cuestión, y teniendo en cuenta que $90\,\text{min}=1,5\,\text{h}$, y que por tanto cayeron $1,5\cdot 70\,\dfrac{\text{L}}{\text{m}^2}=105\,\dfrac{\text{L}}{\text{m}^2}$ en ese tiempo, al tener el aljibe un área rectangular abierta $20\,\text{m}^2$, se pudieron almacenar $105\,\dfrac{\text{L}}{\text{m}^2}\cdot 20\,\text{m}^2=2\,100\,\text{L}$. $\diamond$

-oOo- Para saber más acerca de las lluvias:
  [1] AEMET, Resumen del registro de precipitaciones en España (6/10/2022)
      [https://www.aemet.es/es/serviciosclimaticos/vigilancia_clima/resumen_precipitaciones].

Un sencillo programa con Scratch sobre la divisibilidad de números enteros

Te sugiero que crees una cuenta de usuario en Scratch [https://scratch.mit.edu/] (es gratuita). Practica y disfruta escribiendo programas; para empezar, que sean sencillos. Es una herramienta más para aprender matemáticas.

Aquí tienes un sencillo ejemplo sobre divisibilidad (números enteros). Anímate a reproducirlo y a escribir tus propios programas.

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Fotografía a bote pronto

$15$ es ejemplo de número triangular. Los números triangulares son del tipo $\dfrac{n\cdot (n+1)}{2}$, siendo $n$ un número natural; en efecto: $$15=\dfrac{5 \cdot (5+1)}{2}$$

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Un ejercicio sencillo sobre la expresión de cantidades en base $2$

En este sencillo ejercicio, expresaremos $15$ (dado en base $10$) en base $2$.

El conjunto de números con el que debemos expresar una cierta cantidad en base $2$ es $\{0,1\}$. Vamos a expresar $15$ en serie de potencias de base $2$. Hecho esto, sabemos que la secuencia de los coeficientes de las potencias (ceros y unos), escritos en el orden de mayor a menor grado del término a que corresponda será la expresión pedida de dicha cantidad en base $2$.

Empecemos pues dividiendo $15$ entre $2$. Se obtiene cociente igual a $7$ y resto igual a $1$, por lo que, por el teorema de la división euclídea (t.d.e.), podemos escribir $15=7\cdot 2+1 \quad \quad (1)$; por otra parte, al dividir $7$ entre $2$, obtenemos cociente igual a $3$ y resto igual a $1$, luego por el t.d.e, $7=3\cdot 2+1$, por tanto, $7=(2\cdot 1+1)\cdot 2+1=2^2+2+1$; y, al sustituir esto en (1) se llega a $15=(2^2+2+1)\cdot 2+1=2^3+2^2+2+1$; esto es, $$15=1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+1\cdot 2+1\cdot 2^0$$En consecuencia, $$15_{10}=1111_{2}$$ $\diamond$

Desarrollo en serie de potencias de base $10$ de un número no entero. Sistema de numeración decimal

En este sencillo ejercicio, expresaremos $2\,578\,124,093$ en serie de potencias de base $10$.

Fácilmente, podemos escribir dicho número de la forma
  $2\cdot 1\,000\,000+5\cdot 100\,000 + 7\cdot 10\,000+8\cdot 1000+\rightarrow$
    $+1\cdot 100+2\cdot 10+4+0\cdot 0,1+9\cdot 0,01+3\cdot 0,001$
y por tanto
$2\,578\,124=$
  $=2\cdot 10^6+5\cdot 10^5 + 7\cdot 10^4+8\cdot 10^3+1\cdot 10^2+2\cdot 10^1+4\cdot 10^0+0\cdot 10^{-1}+9\cdot 10^{-2}+3\cdot 10^{-3}$

Nota 1: Observemos que la secuencia de coeficientes de los términos, encadenados en el orden de mayor a menor grado de la potencia de $10$ de los correspondientes términos, nos da precisamente la notación en base $10$ de la cantidad pedida. En otras bases de numeración, se escriben las cantidades basándonos en la misma idea.

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Desarrollo en serie de potencias de base $10$ de un número entero. Sistema de numeración decimal

En este sencillo ejercicio, expresaremos $2\,578\,124$ en serie de potencias de base $10$.

Fácilmente, podemos escribir que $$2\,578\,124=2\cdot 1\,000\,000+5\cdot 100\,000 + 7\cdot 10\,000+8\cdot 1000+1\cdot 100+2\cdot 10+4$$ y por tanto $$2\,578\,124=2\cdot 10^6+5\cdot 10^5 + 7\cdot 10^4+8\cdot 10^3+1\cdot 10^2+2\cdot 10^1+4\cdot 10^0$$

Nota 1: Observemos que la secuencia de coeficientes de los términos, encadenados en el orden de mayor a menor grado de la potencia de $10$ de los correspondientes términos, nos da precisamente la notación en base $10$ de la cantidad pedida. En otras bases de numeración, se escriben las cantidades basándonos en la misma idea.

Nota 2: De tratarse de un número entero negativo, es claro que todos los términos de la suma son negativos; dicho de otro modo, en la suma de los términos de las potencias de $10$, los coeficientes de dichos términos son todos negativos. Así, por ejemplo, como $482=4\cdot 10^2+8\cdot 10^1+2\cdot 10^0$, se tiene que $-482=(-4)\cdot 10^2+(-8)\cdot 10^1+(-2)\cdot 10^0$. En cuanto a esta cuestión del signo, lo mismo sucederá si expresamos cualquier otra cantidad negativa en otras bases de numeración. $\diamond$

Geometría «de campo». Determinación de la dirección Norte-Sur, mediante sombras ( método de Vitrubio [arquitecto romano] )

El método que empleaba el arquitecto romano Vitrubio para determinar el Norte geográfico invita a realizar una bonita e interesante actividad fuera del aula. Se puede utilizar este método en un día soleado, pues se sirve de la sombra de un bastón plantado en posición vertical a un plano (suelo) horizontal.

Consiste en plantar un palo vertical por la mañana ( antes del paso del Sol por el meridiano del lugar ), comprobando la verticalidad con una plomada. Primero, marcaremos el extremo de la sombra del palo ( sobre el plano horizontal ).

A continuación, con la ayuda de un hilo, trazamos un arco de circunferencia con centro en la base del palo y radio igual a la longitud de la sombra medida, pasando pues por el punto marcado, y abarcando el suficiente ángulo central para que, esperando el tiempo necesario, veamos el extremo de la sombra volviendo a intersecar la circunferencia, lo cual, lógicamente, se producirá por la tarde, en algún instante después del mediodía.

Trazando ahora el segmento que pasa por los dos puntos de intersección con la circunferencia (con la ayuda de un hilo estirado, a modo de compás), determinaremos la dirección Este-Oeste. Así, pues, la mediatriz de dicho segmento (que a su vez es la bisectriz del ángulo con vértice en la base del palo) nos indicará la dirección Norte-Sur.

Puede que, como actividad de geometría "de campo", tenga interés didáctico en matemáticas, ciencias experimentales y geografía.

Material:
Nos bastarán unos hilos ( cordeles ), un palo, y algún tipo de trazador ( tiza, por ejemplo ) para el arco de circunferencia y par los segmentos de recta de los que hemos hablado. -oOo- Referencias:
  [1] https://es.wikipedia.org/wiki/Vitruvio, Wikipedia