Un ejercicio sencillo sobre la expresión de cantidades en base $2$

En este sencillo ejercicio, expresaremos $15$ (dado en base $10$) en base $2$.

El conjunto de números con el que debemos expresar una cierta cantidad en base $2$ es $\{0,1\}$. Vamos a expresar $15$ en serie de potencias de base $2$. Hecho esto, sabemos que la secuencia de los coeficientes de las potencias (ceros y unos), escritos en el orden de mayor a menor grado del término a que corresponda será la expresión pedida de dicha cantidad en base $2$.

Empecemos pues dividiendo $15$ entre $2$. Se obtiene cociente igual a $7$ y resto igual a $1$, por lo que, por el teorema de la división euclídea (t.d.e.), podemos escribir $15=7\cdot 2+1 \quad \quad (1)$; por otra parte, al dividir $7$ entre $2$, obtenemos cociente igual a $3$ y resto igual a $1$, luego por el t.d.e, $7=3\cdot 2+1$, por tanto, $7=(2\cdot 1+1)\cdot 2+1=2^2+2+1$; y, al sustituir esto en (1) se llega a $15=(2^2+2+1)\cdot 2+1=2^3+2^2+2+1$; esto es, $$15=1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+1\cdot 2+1\cdot 2^0$$ En consecuencia, $$15_{10}=1111_{2}$$ $\diamond$