Teorema de la divisió euclídea (recordatorio para personas profesoras que trabajen en secundaria)

Recordemos el teorema de la división entera (euclídea): Para un número entero cualquiera $D$ (dividendo) y un número entero cualquiera $d$ (divisor) existen dos números enteros únicos, $c$ (cociente) y $r$ (resto) de manera que debe cumplirse las siguientes condiciones $D=d\cdot c+r$ y $0\le r \lt |d|$   $\diamond$

Ejemplo de división entera de un número entero positivo entre un número entero negativo

Cuál es el resto y el cociente de la división entera $5 \div (-3)$?

Como el dividendo es negativo y el divisor es positivo, el cociente ha de ser negativo; el número entero negativo que multiplicado por $-3$ da como resultado el número entero positivo que se acerca más a $5$ es $-1$, luego el cociente es $-1$; y, de ahí, deberá cumplirse que $5=-1\cdot (-3) + r$, donde $r$ denota el resto, luego $r=5-(-1)\cdot (-3)=2$, que es no negativo y menor o igual que el valor absoluto del divisor (en efecto, $2\lt |-3|=3$), como debe ser (teorema de la división euclídea). $\diamond$

Un ejemplo de división entera entre dos números enteros negativos

Cuál es el resto y el cociente de la división entera $-3 \div (-2)$?

Como el dividendo es negativo y el divisor también, el cociente ha de ser positivo; el número entero positivo que multiplicado por $-2$ da como resultado el número (entero) que se acerca más a $-3$ es $2$, luego el cociente es $2$; y, de ahí, deberá cumplirse que $-3=2\cdot (-2) + r$, donde $r$ denota el resto, luego $r=-3-2\cdot (-2)=-3+4=1$, que es no negativo y menor o igual que el valor absoluto del divisor (en efecto, $1\lt |-2|=2$), como debe ser (teorema de la división euclídea). $\diamond$

Un ejemplo de división entera entre un entero negativo y un entero positivo

Cuál es el resto y el cociente de la división entera $-2 \div 4$?

Como el dividendo es negativo y el divisor es positivo, el cociente ha de ser negativo; el número entero negativo que multiplicado por $4$ da como resultado el número (entero) que se acerca más a $-2$ es $-1$, luego el cociente es $-1$; y, de ahí, deberá cumplirse que $-2=4\cdot (-1) + r$, donde $r$ denota el resto, luego $r=-2-4\cdot (-1)=-2+4=2$, que es no negativo y menor o igual que el valor absoluto del divisor (en efecto, $2 \lt |4|=4$), como debe ser (teorema de la división euclídea). $\diamond$

Curiosidades con el resto de las divisiones enteras

Alguien afirma: El resto de la división entera de $2$ entre $4$ da resto igual a $2$. ¿Es eso cierto? Si es así, ¿por qué?

En efecto, es cierto, porque al ser el dividendo menor que el divisor, $2 \le 4$, el cociente de la división entera $2 \div 4$ es igual $0$, luego $2=0\cdot 4 +2$, por consiguiente el resto es $2$. $\diamond$