Los divisores de $60$ y las fracciones de tiempo

Al medir el tiempo y expresar sus cantidades en el sistema sexagesimal los divisores de $60$ cobran importancia. Los temporizadores de arena con ampolletas (o relojes de arena) permiten fraccionar una cierta cantidad de tiempo entre dos sucesos, como hacemos con un cronómetro, pero con instrumentos de arenas de distintos colores (como los de la figura). Antes de la aparición de los relojes de péndulo, ésta era la manera más común de medir el tiempo, ya fuese a bordo de un velero, surcando el océano, entre turnos de guardia, o en un obrador de artesano, controlando la cocción de los alimentos, por poner sólo un par de ejemplos. Ni que decir tiene que, hoy en día, acostumbrados a manejar relojes modernos, los viejos relojes de arena parecen un anacronismo inútil, pero lo cierto es que los podemos utilizar para aprender el funcionamiento de la medida del tiempo al fraccionarlo en horas, minutos y segundos, operando con los divisores de $60$, añadiendo (sumando), restando, multiplicando y dividiendo.

El utilizar los relojes de arena es un bonito juego para niños que permite practicar el cálculo con los divisores de $60$. En la imagen vemos seis ampolletas, de valores respectivos: $1$, $3$, $5$, $10$, $15$ y $30$ minutos, que son divisores de $60$. No son, no obstante, todos los divisores de $60$, pues en total hay $12$; en efecto, como $60=2^\mathbf{2} \cdot 3^{1} \cdot 5^{1}$, el número total de divisores (positivos) es igual a $(\mathbf{2}+1)\cdot (\mathbf{1}+1)\cdot (\mathbf{1}+1)=3\cdot 2 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$. Podemos encontrarlos con la ayuda de un diagrama de árbol, como ya hemos hecho muchas veces con otros números, y podéis comprobar que son los siguientes: $$\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 \}$$ Los divisores que faltan podemos obtenerlos combinando estos seis; así, por ejemplo, para medir un intervalo de $60$ minutos, bastará con darle la vuelta al reloj de $30$ minutos inmediatamente después de que toda la arena pase al recipiente inferior, y esperar a que se vuelva a vaciar. Otro ejemplo: para medir un intervalo de $2$ minutos, bastará hacer lo mismo que antes con el relojde $1$ minuto, o, también (y de manera más interesante), podemos poner en vaciado a la vez el de $5$ minutos y el de $3$ minutos, haciendo una operación de resta: inmediatamente después de haberse vaciado el de $3$ minutos, lo que queda por vaciar del de $5$ minutos corresponderá precisamente a esos $2$ minutos en cuanto acabe éste de vaciarse. Y así, podemos practicar y jugar, con muchas otras operaciones aritméticas.

Créditos de la imagen: The Twiddlers, un juego de relojes de arena

Todos los relojes de arena, al igual que cualquier otro instrumento de medida, tienen por supuesto un error que hay que considerar al realizar las medidas. Esa es otra parte del juego que lleva a un aprendizaje de gran riqueza experimental y de rigor, el del control del error de medida, que invito a que se practique en casa o en la escuela. $\diamond$

Los divisores de $10$ en las monedas y los billetes

Si vaciáis un monedero repleto de las monedas que se guardan de las vueltas en las compras, comprobaréis que, si el monedero contiene piezas de todo tipo, entre las que tienen un valor inferior o bien igual a $10$ céntimos de euro solamente las encontraréis de cuatro tipos, y algo parecido ocurre con la cuantía de los billetes (de valor igual o superior a $10$ euros)

Veréis que hay monedas de $1$ céntimo de euro, de $2$ céntimos, de $5$ céntimos, y las de $10$ euros. Reparemos en el hecho de que estos valores són precisamente los divisores de $10$ (de diez céntimos de euro); en efecto, como $10=2^\mathbf{1}\,5^\mathbf{1}$, sabemos que hay exactamente $(\mathbf{1}+1)\cdot (\mathbf{1}+1)=2\cdot 2= 4$ divisores, que no son otros que $\{1,2,5,10\}$ (céntimos de euro). Así, diez piezas de $10$ céntimos, hacen un total de $10\cdot 10=100$ céntimos, esto es, $1$ euro; veinte piezas de $5$ céntimos, hacen un total de $20\cdot 5=100$ céntimos, esto es, un euro; cincuenta piezas de $2$ céntimos, hacen un total de $50\cdot 2=100$ céntimos, esto es, $1$ euro, y cien piezas de $1$ céntimo, hacen un total de $100\cdot 1=100$ céntimos (un euro).

Algo parecido ocurre con las piezas cuyos valores son del orden de las decenas de euros. Comprobaréis que solamente las hay de cuatro tipos: monedas de $10$, $20$, $50$ y de un euro (esto es de $100$ céntimos). También sucede algo parecido con el valor de los billetes (que tienen valores iguales superiores a diez euros): los hay de $10$, $20$, $50$ y $100$ euros. Y, entre cien y mil, hay billetes de $200$ euros, y, aunque ya se ven menos en circulación, también hay billetes $500$, y, hasta hace poco, los había de $1000$ euros.

En definitiva, como véis, la cuantía de las monedas/billetes es la de múltiplos de diez. Y esto es así, porque de este modo se optimiza la capacidad de combinar monedas y billetes para sumar cualquier cantidad con una precisión de una centésima de euro. $\diamond$

Recuento de monedas de diversos valores. Agrupación/clasificación, multiplicación y suma

Imaginemos un monedero olvidado en un cajón, lleno de monedas de diverso valor; la hay de $1$, de $2$, de $5$ y de $10$ céntimos de euro, y también hay algunas de $1$ euros y de $2$ euros. Vaciamos el monedero sobre la mesa y contemplamos el montón de esas diversas piezas. Enseguida nos planteamos una pregunta, ¿cuál es el valor (en euros) de nuestro tesoro? ¿cuál es la mejor estrategia para contarlo?

La manera eficiente de contar la cantidad total de dinero consiste en agrupar las monedas por valor (en grupos homogéneos), poniendo pues todas la monedas de $1$ céntimo de euro juntas, las de $2$ céntimos de euro en otro montoncito, las de $5$ céntimos en otro grupo, las de $1$ euro en otro, y las de $2$ euros en otro montón. A continuación, contaremos el número de monedas que tienen el mismo valor, grupo por grupo; luego multiplicaremos el número de monedas de cada montón el valor por el valor de las monedas del mismo. Y, finalmente, sumaremos esas cantidades. Veámoslo con un ejemplo:

Supongamos que, al clasificar las monedas, haciendo los cinco montones, nos hemos encontrado con: $32$ monedas de un $1$ céntimo de euro; $78$ monedas de $2$ céntimos de euro; $24$ monedas de $5$ céntimos de euro; $4$ monedas de $1$ euro, y$3$ monedas de $2$ euros. Bien, recordando que $1$ céntimo de euro se puede escribir como $0,01$ euros, la cantidad de dinero (medido en euros) que contenía el monedero es: $(32\cdot 1 +78\cdot 2 + 24\cdot 5)\cdot 0,01 + 4\cdot 1 + 3\cdot 2=3,08+4+6=13,08\,\text{euros}$; es decir, $3$ euros y $8$ céntimos de euro.

-oOo-

Comentario:

Salvando las monedas de $1$ euros y de $2$ euros, que son fáciles de contar, muchas personas se lían al contar las monedas pequeñas, agrupándolas de manera heterogénea, por ejemplo, hasta formar un cierto número de grupitos, pongamos que cada uno con un valor de $1$ euro. Si en el monedero hay muchas monedas pequeñas, será muy probable que se equivoquen si utilizan esta estrategia, incluso que se hagan un lío tal (es fácil confundir una moneda de un céntimo de euro con una de dos céntimos) que se queden bloqueadas, y tengan que volver a empezar. La estrategia, y el método que he expuesto, me parece el más rápido, cómodo y seguro. Probad a ponerlo en práctica en una situación real, y probad a hacerlo también de otras maneras/estrategias. $\diamond$

Acerca de la noción de densidad de masa

Considera una determinada sustancia, la que quieras, ya sea ésta simple o compuesta, por ejemplo: hierro, agua, aire; lo que sea. La masa de dicha sustancia dividida por el volumen que ocupa es lo que denominamos densidad de dicha sustancia. Lógicamente, cualquier muestra de una misma sustancia tendrá la misma densidad.

Así, por ejemplo, si consideramos un bloque de hierro compacto de $7870$ kilogramos, veremos que, al medir el volumen que ocupa, éste es de 1 metro cúbico, por lo que podemos decir que la densidad del hierro es de $7870\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$.

Este concepto, el de densidad, es muy útil, pues si de una determinada sustancia conocemos dicho dato, podemos saber cuál es la masa de una cierta cantidad de la misma si conecemos el volumen que ocupa, sin necesidad de medirla directamente; por ejemplo, sabemos que la densidad del corcho es de $257\, \dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, luego $3$ metros cúbicos de corcho tienen una masa de $3\,\text{m}^3 \cdot 257\, \dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} = 771\, \text{kg}$. $\diamond$

Otra actividad de estudio del despliegue y plegado de un embalaje en forma de prisma recto de base cuadrada

Ideas para diversos usos didácticos de los embalajes de cartón

$\diamond$

Despliegue (desarrollo plano) de un caja de embalaje que tiene forma de prisma recto de base rectangular

Una bonita actividad de medida y cálculo consiste en pedir a los alumnos que midan las magnitudes necesarias para, a continuación, realizar un dibujo en perspectiva del embalaje (montado) y calcular la capacidad, el área de la superficie exterior del mismo, y, también, estimar la masa del conjunto, consultando previamente cuál es la densidad del cartón.

$\diamond$

Número de múltiplos enteros positivos de un cierto número $k$ que son menores o iguales que un número $m$ mayor o igual que $k$

Existe un caso que no merece mucho interés: si $k=m$, el número pedido de múltiplos es sólo uno, que es el propio $k$ (que a su vez es igual a $m$). Ocupémonos a continuación del resto de casos, que son los interesantes.

Trabajaremos con los números enteros positivos. Empecemos experimentando un poco. Para ello, hablemos de números que sean múltiplos, pongamos que de $3$ (sin pérdida de generalidad, como veremos, si considerásemos múltiplos de otro número distinto) y menores que un cierto número (mayor o igual que $3$, claro). Empecemos con un caso muy sencillito, para el que podamos hacer un recuento del número de múltiplos que encontremos (primero los encontraremos y después contaremos cuántos hay): pongamos que queremos determinar el número de divisores enteros positivos múltiplos de $3$, menores o iguales que $7$. No hace falta esforzarnos mucho: son los siguientes $3$ y $6$ (no hay más); en efecto, los dos números son múltiplos de $3$, pues la división entera (euclídea) de cada uno de ellos entre $3$ da resto igual a $0$, y ambos son menores que $7$, por tanto el número pedido de múltiplos de $3$ menores que $7$ es dos.

Parece que no vaya a haber ninguna dificultad si lo queremos hacer con otros valores; sin embargo, veamos que esto no es así. Responder a una pregunta de este estilo, y hacerlo de esta manera (encontrando todos los múltiplos y haciendo, después, un recuento de los mismos), es trabajoso si el número dado (del que no podemos pasar) es relativamente grande (no como el el tope igual a $7$, que es pequeño). Pogamos, por ejemplo, que dicho número sea $1036$. ¿A que ya no resulta tan fácil, ahora? Encontrar los múltiplos (para contarlos después uno a uno) es posible, pero es costoso. Es pues bien claro que tendremos que encontrar un procedimiento más corto, más elegante, y por tanto, un procedimiento eficiente. Veamos cuál puede ser.

En el primer caso expuesto (para contar el número de múltiples de $3$ menores que $7$), démonos cuenta, desde otro punto de vista, de que son dos (los que hemos encontrado) porque, al hacer la división entera (euclídea) entre la diferencia de $7$ (el mayor) y $3$ (el de partida) —que es igual a $4$— entre $3$, obtenemos el número de saltos de longitud $3$ que tenemos que dar partiendo del más pequeño, $3$, para acercarnos lo más posible al número tope, $7$. En este caso tan sencillo, es claro que hay un sólo salto (el cociente de la división euclídea entre $4$ y $3$ es $1$), con lo que habrá dos números múltiplos de $3$, el del principio (del salto) y el del final del mismo (que es $6$); esto es, una unidad más que el número de saltos que hemos tenido que dar.

Por tanto, en un caso general, debermos sumar una unidad al número de saltos para obtener el número de múltiplos pedido que sea menor (o igual) que el número dado.

Este número de saltos podemos obtenerlos de manera directa sirviéndonos de nuestra vieja amiga la división euclídea (división con números enteros), pues, como hemos visto, es igual al cociente de dicha división. Así pues, en general, el número de múltiplos de $\ell$ menores o iguales que $m$ (siendo $\ell \le m$) es igual al cociente de la división euclídea, esto es $$\text{número de múltiplos de}\,\,k\,\,\text{menores o iguales que}\,\,m\,\,=\text{cociente}\left((m-k) \div k\right)+1$$

Podemos pues responder ya a la segunda pregunta: hay $346$ múltiplos de $3$ menores que $1036$. En efecto, al ser el cociente de la división $(1\,036-3) \div 3$ (número de saltos de longitud $3$ que hay que dar partiendo del $3$ hasta acercarnos tanto como podamos a $1036$) igual a $344$, luego el número de múltiplos de $3$ menores o iguales que $1036$ (en este caso, serán menores, por no ser el propio $1036$ un múltiplo de $3$) es $344+1=345$.

Otro ejemplo: ¿cuántos múltiplos de $11$ menores que $2\,129$ hay? Ahora ya es muy fácil responder a prenguntas de este estilo: como el número de saltos de longitud $11$ entre el propio $11$ (que es el múltiplo de $11$ más pequeño) y $2\,129$ es igual al cociente de la división euclídea $(2\,129-11) \div 11$, que es $192$, entonces el número pedido de múltiplos (de $11$) menores que $2\,129$ es $192+1=193$.

Si nos fijamos bien en lo que hemos hecho, vemos que existe una variante aún más directa: al dividir (división euclídea) el número tope entre el número de multiplicidad, el cociente nos da, sin más, el número de múltiplos pedido, esto es: $$\text{número de múltiplos de}\,\,k\,\,\text{menores o iguales que}\,\,m\,\,=\text{cociente}(m\div k)$$

*** Comentario: Otra manera de expresar esto es mediante lo que llamamos parte entera de un número decimal, esto es, el caso que nos ocupa: el número entero menor más y más próximo al resultado (en principio, decimal) de la división decimal $m/k$, y lo denotamos de la forma $\text{Ent}(m/k)$ o, también, así: $\left[m/k\right]$.
*** Así, por ejemplo, para los tres casos expuestos:

• El número de múltiplos de $3$ menores (o iguales) que $7$ es $\text{cociente}(7\div 3)=2$; o lo que es lo mismo: $\text{Ent}(7/3)=\text{Ent}(2.5)=2$.
• El número de múltiplos de $3$ menores (o iguales) que $1\,036$ es $\text{cociente}(1\,036 \div 3)=345$; o lo que es lo mismo: $\text{Ent}(1036/3)=\text{Ent}(345.3333\ldots)=345$
• El número de múltiplos de $11$ menores (o iguales) que $2\,129$ es $\text{cociente}(2\,129 \div 11)=193$; o lo que es lo mismo: $\text{Ent}(2129/11)=\text{Ent}(193.545454\ldots)=193$
• ...

$\diamond$