Fotografía a bote pronto

$15$ es ejemplo de número triangular. Los números triangulares son del tipo $\dfrac{n\cdot (n+1)}{2}$, siendo $n$ un número natural; en efecto: $$15=\dfrac{5 \cdot (5+1)}{2}$$

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Un ejercicio sencillo sobre la expresión de cantidades en base $2$

En este sencillo ejercicio, expresaremos $15$ (dado en base $10$) en base $2$.

El conjunto de números con el que debemos expresar una cierta cantidad en base $2$ es $\{0,1\}$. Vamos a expresar $15$ en serie de potencias de base $2$. Hecho esto, sabemos que la secuencia de los coeficientes de las potencias (ceros y unos), escritos en el orden de mayor a menor grado del término a que corresponda será la expresión pedida de dicha cantidad en base $2$.

Empecemos pues dividiendo $15$ entre $2$. Se obtiene cociente igual a $7$ y resto igual a $1$, por lo que, por el teorema de la división euclídea (t.d.e.), podemos escribir $15=7\cdot 2+1 \quad \quad (1)$; por otra parte, al dividir $7$ entre $2$, obtenemos cociente igual a $3$ y resto igual a $1$, luego por el t.d.e, $7=3\cdot 2+1$, por tanto, $7=(2\cdot 1+1)\cdot 2+1=2^2+2+1$; y, al sustituir esto en (1) se llega a $15=(2^2+2+1)\cdot 2+1=2^3+2^2+2+1$; esto es, $$15=1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+1\cdot 2+1\cdot 2^0$$En consecuencia, $$15_{10}=1111_{2}$$ $\diamond$

Desarrollo en serie de potencias de base $10$ de un número no entero. Sistema de numeración decimal

En este sencillo ejercicio, expresaremos $2\,578\,124,093$ en serie de potencias de base $10$.

Fácilmente, podemos escribir dicho número de la forma
  $2\cdot 1\,000\,000+5\cdot 100\,000 + 7\cdot 10\,000+8\cdot 1000+\rightarrow$
    $+1\cdot 100+2\cdot 10+4+0\cdot 0,1+9\cdot 0,01+3\cdot 0,001$
y por tanto
$2\,578\,124=$
  $=2\cdot 10^6+5\cdot 10^5 + 7\cdot 10^4+8\cdot 10^3+1\cdot 10^2+2\cdot 10^1+4\cdot 10^0+0\cdot 10^{-1}+9\cdot 10^{-2}+3\cdot 10^{-3}$

Nota 1: Observemos que la secuencia de coeficientes de los términos, encadenados en el orden de mayor a menor grado de la potencia de $10$ de los correspondientes términos, nos da precisamente la notación en base $10$ de la cantidad pedida. En otras bases de numeración, se escriben las cantidades basándonos en la misma idea.

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Desarrollo en serie de potencias de base $10$ de un número entero. Sistema de numeración decimal

En este sencillo ejercicio, expresaremos $2\,578\,124$ en serie de potencias de base $10$.

Fácilmente, podemos escribir que $$2\,578\,124=2\cdot 1\,000\,000+5\cdot 100\,000 + 7\cdot 10\,000+8\cdot 1000+1\cdot 100+2\cdot 10+4$$ y por tanto $$2\,578\,124=2\cdot 10^6+5\cdot 10^5 + 7\cdot 10^4+8\cdot 10^3+1\cdot 10^2+2\cdot 10^1+4\cdot 10^0$$

Nota 1: Observemos que la secuencia de coeficientes de los términos, encadenados en el orden de mayor a menor grado de la potencia de $10$ de los correspondientes términos, nos da precisamente la notación en base $10$ de la cantidad pedida. En otras bases de numeración, se escriben las cantidades basándonos en la misma idea.

Nota 2: De tratarse de un número entero negativo, es claro que todos los términos de la suma son negativos; dicho de otro modo, en la suma de los términos de las potencias de $10$, los coeficientes de dichos términos son todos negativos. Así, por ejemplo, como $482=4\cdot 10^2+8\cdot 10^1+2\cdot 10^0$, se tiene que $-482=(-4)\cdot 10^2+(-8)\cdot 10^1+(-2)\cdot 10^0$. En cuanto a esta cuestión del signo, lo mismo sucederá si expresamos cualquier otra cantidad negativa en otras bases de numeración. $\diamond$