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domingo, 9 de octubre de 2022

De lluvias y aljibes

Estaba el otro día pensando en aljibes —un aljibe es un depósito de agua tradicionalmente destinado a recoger el agua de la lluvia—, y me preguntaba por la cantidad de agua que se podría recoger de la lluvia torrencial que cayó hace pocos días (con intensidad constante) durante 90\,\text{min}, y que según los datos registrados tuvo una intensidad de 70 milímetros por metro cuadrado. Pensaba en concreto en un aljibe que tenía forma de prisma recto de base rectangular de 20\,\text{m}^2 y 1\,\text{m} de profundidad.

Recordemos que la precipitación se mide en milímetros de agua, o litros caídos por unidad de superficie (metro cuadrado) durante 1 hora; es decir, se expresa de esta manera la altura de la lámina de agua recogida en una superficie plana en milímetros (por metro cuadrado) en una hora. Obsérvese por tanto que 1 milímetro de agua de lluvia precipitada por metro cuadrado equivale a 1 litro de agua (por metro cuadrado). En efecto, basta considerar un cuadrado de 1 metro cuadrado de área, como base de un cubo de 1 metro de arista, teniendo por tanto dicho cubo imaginario un volumen de 1\,\text{m}^3=1\,000\,\text{dm}^3; así, si el agua de la lluvia lo llenase por completo, recogeríamos 1\,000\,\text{L}, de agua, ya que 1\,\text{L} (capacidad) equivale a 1\,\text{dm}^3 de volumen continente. Por consiguiente, al decir que ha caído 1\,\text{mm} de precipitación, nos referimos a una cantidad de lluvia de una milésima parte de 1\,000\,\text{L}, esto es, por cada milímetro de grosor de la lámina de agua de lluvia se puede almacenar 1\,\text{L} de agua.

Así pues, según los datos de la precipación en cuestión, y teniendo en cuenta que 90\,\text{min}=1,5\,\text{h}, y que por tanto cayeron 1,5\cdot 70\,\dfrac{\text{L}}{\text{m}^2}=105\,\dfrac{\text{L}}{\text{m}^2} en ese tiempo, al tener el aljibe un área rectangular abierta 20\,\text{m}^2, se pudieron almacenar 105\,\dfrac{\text{L}}{\text{m}^2}\cdot 20\,\text{m}^2=2\,100\,\text{L}. \diamond

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Para saber más acerca de las lluvias:
  [1] AEMET, Resumen del registro de precipitaciones en España (6/10/2022)
      [https://www.aemet.es/es/serviciosclimaticos/vigilancia_clima/resumen_precipitaciones].

jueves, 15 de septiembre de 2022

Un sencillo programa con Scratch sobre la divisibilidad de números enteros

Te sugiero que crees una cuenta de usuario en Scratch [https://scratch.mit.edu/] (es gratuita). Practica y disfruta escribiendo programas; para empezar, que sean sencillos. Es una herramienta más para aprender matemáticas.

Aquí tienes un sencillo ejemplo sobre divisibilidad (números enteros). Anímate a reproducirlo y a escribir tus propios programas.

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jueves, 25 de agosto de 2022

Fotografía a bote pronto

15 es ejemplo de número triangular. Los números triangulares son del tipo \dfrac{n\cdot (n+1)}{2}, siendo n un número natural; en efecto: 15=\dfrac{5 \cdot (5+1)}{2}

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miércoles, 24 de agosto de 2022

Un ejercicio sencillo sobre la expresión de cantidades en base 2

En este sencillo ejercicio, expresaremos 15 (dado en base 10) en base 2.

El conjunto de números con el que debemos expresar una cierta cantidad en base 2 es \{0,1\}. Vamos a expresar 15 en serie de potencias de base 2. Hecho esto, sabemos que la secuencia de los coeficientes de las potencias (ceros y unos), escritos en el orden de mayor a menor grado del término a que corresponda será la expresión pedida de dicha cantidad en base 2.

Empecemos pues dividiendo 15 entre 2. Se obtiene cociente igual a 7 y resto igual a 1, por lo que, por el teorema de la división euclídea (t.d.e.), podemos escribir 15=7\cdot 2+1 \quad \quad (1); por otra parte, al dividir 7 entre 2, obtenemos cociente igual a 3 y resto igual a 1, luego por el t.d.e, 7=3\cdot 2+1, por tanto, 7=(2\cdot 1+1)\cdot 2+1=2^2+2+1; y, al sustituir esto en (1) se llega a 15=(2^2+2+1)\cdot 2+1=2^3+2^2+2+1; esto es, 15=1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+1\cdot 2+1\cdot 2^0En consecuencia, 15_{10}=1111_{2} \diamond

Desarrollo en serie de potencias de base 10 de un número no entero. Sistema de numeración decimal

En este sencillo ejercicio, expresaremos 2\,578\,124,093 en serie de potencias de base 10.

Fácilmente, podemos escribir dicho número de la forma
  2\cdot 1\,000\,000+5\cdot 100\,000 + 7\cdot 10\,000+8\cdot 1000+\rightarrow
    +1\cdot 100+2\cdot 10+4+0\cdot 0,1+9\cdot 0,01+3\cdot 0,001
y por tanto
2\,578\,124=
  =2\cdot 10^6+5\cdot 10^5 + 7\cdot 10^4+8\cdot 10^3+1\cdot 10^2+2\cdot 10^1+4\cdot 10^0+0\cdot 10^{-1}+9\cdot 10^{-2}+3\cdot 10^{-3}

Nota 1: Observemos que la secuencia de coeficientes de los términos, encadenados en el orden de mayor a menor grado de la potencia de 10 de los correspondientes términos, nos da precisamente la notación en base 10 de la cantidad pedida. En otras bases de numeración, se escriben las cantidades basándonos en la misma idea.

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Desarrollo en serie de potencias de base 10 de un número entero. Sistema de numeración decimal

En este sencillo ejercicio, expresaremos 2\,578\,124 en serie de potencias de base 10.

Fácilmente, podemos escribir que 2\,578\,124=2\cdot 1\,000\,000+5\cdot 100\,000 + 7\cdot 10\,000+8\cdot 1000+1\cdot 100+2\cdot 10+4 y por tanto 2\,578\,124=2\cdot 10^6+5\cdot 10^5 + 7\cdot 10^4+8\cdot 10^3+1\cdot 10^2+2\cdot 10^1+4\cdot 10^0

Nota 1: Observemos que la secuencia de coeficientes de los términos, encadenados en el orden de mayor a menor grado de la potencia de 10 de los correspondientes términos, nos da precisamente la notación en base 10 de la cantidad pedida. En otras bases de numeración, se escriben las cantidades basándonos en la misma idea.

Nota 2: De tratarse de un número entero negativo, es claro que todos los términos de la suma son negativos; dicho de otro modo, en la suma de los términos de las potencias de 10, los coeficientes de dichos términos son todos negativos. Así, por ejemplo, como 482=4\cdot 10^2+8\cdot 10^1+2\cdot 10^0, se tiene que -482=(-4)\cdot 10^2+(-8)\cdot 10^1+(-2)\cdot 10^0. En cuanto a esta cuestión del signo, lo mismo sucederá si expresamos cualquier otra cantidad negativa en otras bases de numeración. \diamond