ENUNCIADO:
Consideremos cien bolas ordenadas en fila, habiendo un hueco entre bola y bola.
a) ¿Cuántas bolas hay entre la quinta y la octava bola, ambas incluidas ? ¿ Cuántos huecos hay entre ellas?
b) ¿Cuántas bolas hay entre la undécima bola y la quincuagésimo séptima bola, ambas incluidas? ¿Cuántos huecos hay entre las dos bolas mencionadas?
SOLUCIÓN:
a) Entre la quinta y la sexta bolas, ambas incluidas, hay una bola intermedia ( la quinta bola, es decir $6-5=1$ bola entre las dos ), y, además, teniendo en cuenta las dos bolas de los extremos ( la quinta y la sexta ), contabilizamos un total de $(6-5)+2 = 1+2=3$ bolas. Pues bien, entre la quinta y la octava bolas ( ambas incluidas ) deberá haber $(8-5)+2=3+2=5$ bolas. Y, naturalmente, un hueco menos que el número de dichas bolas, es decir, $((8-5)+2)-1$ huecos, esto es, $5-1=4$ huecos.
b) Generalizando el procedimiento de recuento que hemos aplicado en el primer apartado: entre la $m$-ésima y la $n$-ésima bolas ( ambas incluidas, y siendo $m$ menor o igual que $n$ ) hay $(n-m)+2$ bolas y $((n-m)+2)-1$ huecos, esto es $(n-m)+1$ huecos, luego, particularizando entre la undécima y la quincuagésimo séptima bola hay $(57-11)+2=46+2=48$ bolas y $48-1=47$ huecos.
$\square$
miércoles, 23 de septiembre de 2015
Número de años que hay entre ...
ENUNCIADO:
a) Se sabe que Eratóstenes murió en el año $385$ a.C. y que Hypatia de Alejandría murió en en año $415$ d.C. ¿ Cuántos años, $n$, hay entre uno y otro evento ?
b) Albert Einstein nació en el año $1879$ y murió en el año $1955$. ¿ Cuántos años vivió ?
c) Euclides nació en el año $325$ a.C. y Pitágoras nació en el año $475$ a.C. ( Pitágoras nació en un siglo anterior al que nació Euclides ), ¿ Cuántos años hay entre estos dos eventos ?
SOLUCIÓN:
tengamos en cuenta que los años del calendario se ordenan de pasado a futuro de la siguiente forma:
... 3 a.C, 2 a.C., 1 a.C. 1 d.C. 2 d.C. ... Nota: Cuidado, el "año '0'" es, en nuestro calendario, el año 1 d.C.
Haciendo algunas pruebas con números sencillos para las años del evento inicial y del evento final, vemos que para hacer los cálculos que nos llevan a determinar el número de años, $n$, entre el evento del año inicial y el evento del año final, debemos proceder de la siguiente forma:
Sean $i$ y $f$ los años inicial y final, entonces:
1) Si $i$ y $f$ son años de nuestra era ( d.C. ), $n = f-i$
2) Si $i$ y $f$ son años de la era anterior ( a.C. ), $n = i-f$
3) Si $i$ es de la era anterior (a.C.) y $f$ es de nuestra era ( a.C. ), $n=(i+f)-1$
Observación sobre el caso (3): esto es así porqué, en nuestro calendario, no se utiliza el '0' para empezar a contar los años, sino que el primero año de nuestra era, se designa como año '1' ( 1 d.C.); de haber utilizado el '0' para el año inicial de nuestra era, la fórmula del computo de años sería $n=i+f$. Y, de haber utilizado números enteros negativos para los años anteriores al año inicial ( suponiendo que hubiese sido el año '0' ) y el año final ( un número entero positivo, la fórmula sería $n=f-i$, recordando que, en el caso que nos ocupa, sería $i \prec 0$ )
Procedemos ahora a dar la respuesta a las preguntas del enunciado:
a) Estamos en el caso (3), luego $n=(385+415)-1= 799$ años ( pasaron $799$ años entre el año de la muerte de Eratóstenes y el año de la muerte de Hypatia de Alejandría )
b) Estamos, ahora, en el caso (1), luego $n=1955-1879=76$ años ( Albert Einstein tenía $76$ años cuando murió )
c) Esto nos lleva al caso (2), por tanto $n=475-325 = 150$ años ( pasaron $150$ años entre el año del nacimiento de Pitágoras y el año del nacimiento de Euclides )
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a) Se sabe que Eratóstenes murió en el año $385$ a.C. y que Hypatia de Alejandría murió en en año $415$ d.C. ¿ Cuántos años, $n$, hay entre uno y otro evento ?
b) Albert Einstein nació en el año $1879$ y murió en el año $1955$. ¿ Cuántos años vivió ?
c) Euclides nació en el año $325$ a.C. y Pitágoras nació en el año $475$ a.C. ( Pitágoras nació en un siglo anterior al que nació Euclides ), ¿ Cuántos años hay entre estos dos eventos ?
SOLUCIÓN:
tengamos en cuenta que los años del calendario se ordenan de pasado a futuro de la siguiente forma:
Haciendo algunas pruebas con números sencillos para las años del evento inicial y del evento final, vemos que para hacer los cálculos que nos llevan a determinar el número de años, $n$, entre el evento del año inicial y el evento del año final, debemos proceder de la siguiente forma:
Sean $i$ y $f$ los años inicial y final, entonces:
1) Si $i$ y $f$ son años de nuestra era ( d.C. ), $n = f-i$
2) Si $i$ y $f$ son años de la era anterior ( a.C. ), $n = i-f$
3) Si $i$ es de la era anterior (a.C.) y $f$ es de nuestra era ( a.C. ), $n=(i+f)-1$
Observación sobre el caso (3): esto es así porqué, en nuestro calendario, no se utiliza el '0' para empezar a contar los años, sino que el primero año de nuestra era, se designa como año '1' ( 1 d.C.); de haber utilizado el '0' para el año inicial de nuestra era, la fórmula del computo de años sería $n=i+f$. Y, de haber utilizado números enteros negativos para los años anteriores al año inicial ( suponiendo que hubiese sido el año '0' ) y el año final ( un número entero positivo, la fórmula sería $n=f-i$, recordando que, en el caso que nos ocupa, sería $i \prec 0$ )
Procedemos ahora a dar la respuesta a las preguntas del enunciado:
a) Estamos en el caso (3), luego $n=(385+415)-1= 799$ años ( pasaron $799$ años entre el año de la muerte de Eratóstenes y el año de la muerte de Hypatia de Alejandría )
b) Estamos, ahora, en el caso (1), luego $n=1955-1879=76$ años ( Albert Einstein tenía $76$ años cuando murió )
c) Esto nos lleva al caso (2), por tanto $n=475-325 = 150$ años ( pasaron $150$ años entre el año del nacimiento de Pitágoras y el año del nacimiento de Euclides )
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[autoría]
lunes, 14 de septiembre de 2015
Un grupo de tres alumnos han decido cenar juntos en un restaurante ... ¿ qué pasó con el euro que parece que falta ?
ENUNCIADO:
Un grupo de tres alumnos han decido cenar juntos en un restaurante. A la hora de pagar la cuenta, el camarero les dice que cuesta en total 30 euros, y esa cantidad es la que le pagan; sin embargo, al hablar con el compañero de caja, éste le informa que ese día el restaurante rebaja 5 euros a cada grupo de tres comensales y que, por tanto, en lugar de 30 euros les va a costar 25 euros, por lo que se le entregan cinco monedas de 1 euro para devolver esa cantidad ( 5 euros ) a los tres clientes. Sin embargo, como el camarero no dispone de monedas pequeñas, no puede repartir las cinco monedas en partes iguales entre los tres, de modo que los tres amigos deciden solventar la situación ofreciéndole 2 euros de propina al camarero, quedándose sólo 3 euros para ellos ( una moneda de 1 euro para cada uno de los tres ).
Sin embargo, al hacer cuentas sobre la solución adoptada, uno de los tres clientes se encuentra con una pega que no sabe cómo resolver y que es la siguiente:
si, cada uno hemos pagado 10 euros ( entre los tres, 30 euros ) y nos han devuelto 1 euro, a cada uno nos habrá costado la cena 9 euros; sin embargo, 9 por tres es 27, más los 2 euros que hemos dado de propina al camarero hace un total de 29 euros ... Entonces, ¿ qué ha pasado con el euro que falta para llegar a los 30 euros ( que en un principio habíamos entregado entre los tres ) ?
SOLUCIÓN:
La explicación al enigma se encuentra en el modo erróneo de hacer las cuentas del cliente que nos plantea el problema. La forma correcta de plantear la situación es la siguiente: Los 2 euros de propina no se deben contabilizar como parte del coste de la cena, que es de 25 euros sino que hay que contarlos como un añadido al gasto que supone el pago de la cuenta; así, entre los tres se han gastado 25 + 2 = 27 euros, cantidad que corresponde, precisamente, a los 9·3=27 euros que han pagado entre los tres. $\square$
Un grupo de tres alumnos han decido cenar juntos en un restaurante. A la hora de pagar la cuenta, el camarero les dice que cuesta en total 30 euros, y esa cantidad es la que le pagan; sin embargo, al hablar con el compañero de caja, éste le informa que ese día el restaurante rebaja 5 euros a cada grupo de tres comensales y que, por tanto, en lugar de 30 euros les va a costar 25 euros, por lo que se le entregan cinco monedas de 1 euro para devolver esa cantidad ( 5 euros ) a los tres clientes. Sin embargo, como el camarero no dispone de monedas pequeñas, no puede repartir las cinco monedas en partes iguales entre los tres, de modo que los tres amigos deciden solventar la situación ofreciéndole 2 euros de propina al camarero, quedándose sólo 3 euros para ellos ( una moneda de 1 euro para cada uno de los tres ).
Sin embargo, al hacer cuentas sobre la solución adoptada, uno de los tres clientes se encuentra con una pega que no sabe cómo resolver y que es la siguiente:
si, cada uno hemos pagado 10 euros ( entre los tres, 30 euros ) y nos han devuelto 1 euro, a cada uno nos habrá costado la cena 9 euros; sin embargo, 9 por tres es 27, más los 2 euros que hemos dado de propina al camarero hace un total de 29 euros ... Entonces, ¿ qué ha pasado con el euro que falta para llegar a los 30 euros ( que en un principio habíamos entregado entre los tres ) ?
SOLUCIÓN:
La explicación al enigma se encuentra en el modo erróneo de hacer las cuentas del cliente que nos plantea el problema. La forma correcta de plantear la situación es la siguiente: Los 2 euros de propina no se deben contabilizar como parte del coste de la cena, que es de 25 euros sino que hay que contarlos como un añadido al gasto que supone el pago de la cuenta; así, entre los tres se han gastado 25 + 2 = 27 euros, cantidad que corresponde, precisamente, a los 9·3=27 euros que han pagado entre los tres. $\square$
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