Un alumno afirma que la división entera de $7$ entre $5$ da $2$ de cociente y $-3$ de resto. ¿Está bien hecha dicha división?

ENUNCIADO:
Un alumno afirma que la división entera de $7$ entre $5$ da $2$ de cociente y $-3$ de resto. ¿Está bien hecha dicha división?

SOLUCIÓN:
El resultado debe cumplir el Teorema de la División Entera, esto es:

1) que el dividendo (que es $7$) sea igual al producto del cociente (que es $5$) y el divisor (que es $2$) más el resto (que es $-2$), y ciertamente, esto se cumple; en efecto, $5\cdot 2 + (-3)$ es igual a $10-3$, que es $7$.

Ahora bien, el Teorema también dice que debe cumplirse esta otra condición:

2) que el resto sea mayor o igual que cero y menor que el divisor en valor absoluto. Pero el resto que encuentra el alumno es negativo, luego no se cumple esta segunda condición.

Así, pues, lo que afirma el alumno es falso.

Nota: Evidentemente, la solución correcta es: cociente igual a $1$ y resto igual a $2$.
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Una piscina tiene una capacidad de $300\, \text{m}^3$ ...

ENUNCIADO:
Una piscina tiene una capacidad de $300\, \text{m}^3$. Estando vacía, se empieza a llenar a las $08:00$ del día 1 de Junio mediante una conducción de agua que aporta $3$ litros cada $1$ minuto, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse? ¿Qué día y a qué hora terminará de llenarse?

SOLUCIÓN:

Vamos a expresar, primero, los datos en unidades homogéneas; así, como $1\;\text{dm}^3$ equivale a $1\,\text{L}$, $1\,\text{m}^3$ equivale a $1000\,\text{L}$ y, por tanto, $300\,\text{m}^3$ equivalen a $3\cdot 10^5\,\text{L}$

Planteando la proporción entre la cantidad de agua aportada y el tiempo, $t$, necesario para ello,
$$\dfrac{t}{3\cdot 10^5}=\dfrac{1}{3}$$
despejando $t$,
$$t=\dfrac{3\cdot 10^5}{3}$$
es decir
$$t=10^5\,\text{minutos}$$

Vamos a expresar esta cantidad de tiempo en forma compleja; para ello, realizamos la división entera $10000 \div 60$, que nos da $1666$ de cociente y $40$ de resto; quiere decir esto que tarda $166$ horas y $40$ minutos. Veamos ahora cuántos días comprende dicho número de horas; para ello realizamos la división entera $166 \div 24$, que nos da $6$ días y $22$ horas. Así, pues, el llenado de la piscina supone un tiempo de
$$6\text{días}\,,\,22\,\text{horas}\,\text{y}\,40\,\text{minutos}$$
con lo cual, habiendo empezado a llenarse el día 1 de Junio a las ocho de la mañana, terminará el procesos de llenado del día 8 de Junio a las $06:40:00$ ( a las diez de la noche y cuarenta minutos ).

Aclaración sobre el último cálculo: ¿ Por qué el día 8 de Junio y no el 7 de Junio ?. Al sumar 6 días enteros a 1 (1 de junio) nos colocamos, en principio, en el día 7, sin embargo, al añadir 22 horas a las ocho (de la mañana) debemos contabilizar también esas 30 horas, esto es, 24 horas (esto es, un día más) y 6 horas más, de ahí el resultado.

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Una conducción de agua llena un depósito en $5$ horas. El depósito se puede vaciar, mediante un desagüe, en $6$ horas. Estando el depósito completamente lleno, por error, se ha dejado abierto el desagüe y el grifo de la conducción de agua. Se pide ...

ENUNCIADO:
Una conducción de agua llena un depósito en $5$ horas. El depósito se puede vaciar, mediante un desagüe, en $6$ horas. Estando el depósito completamente lleno, por error, se ha dejado abierto el desagüe y el grifo de la conducción de agua. Se pide:
a) ¿Llegará a vaciarse el depósito?
b) En caso de que se pueda vaciar en estas condiciones, ¿cuánto tiempo tardará?

SOLUCIÓN:
(a)
Como el desagüe vacía el depósito en menor tiempo del que lo llena la conducción, acabará vaciándose.

(b)
En una misma hora, la fracción de depósito que se vacía es $\left|\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{5}\right|=\dfrac{1}{30}$
con lo cual podemos plantear la siguiente proporción directa entre la fracción de depósito vaciado y el tiempo, $t$, necesario para ello,
$$\dfrac{t}{30/30}=\dfrac{1}{1/30}$$
despejando,
$$t=\text{inverso}\left(1/30\right)$$
esto es
$$t=30 \, \text{horas}$$
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