Ponemos separadores en una balda ...

En la balda de una estantería que tiene una longitud de $3\,\text{m}$ ponemos dos separadores, cada uno de los cuales dista la misma distancia de los extremos que la que dista entre los dos. ¿En cuántos tramos queda dividida la balda? ¿Cuál es la longitud de cada uno de los tramos en los que queda dividida?

Al haber $2$ separadores, la balda queda dividida en $2+1=3$ tramos, los cuales, según el enunciado, tienen la misma longitud, la cual es igual, por tanto, a la longitud de la balda, que es de $3\,\text{m}$ dividida entre $3$ trozos iguales, esto es, $$\dfrac{3\,\text{m}}{3\,\text{tramos}}=1\,\dfrac{\text{m}}{\text{tramo}}$$
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Razonando con números enteros y extrayendo conclusiones interesantes. Otro ejemplo: $0$ no es divisor de ningún número entero no nulo

¿Por qué $0$ no es divisor de ningún otro número entero distinto de cero?

Supongamos que sí lo sea e intentemos llegar a una contradicción. Si lo conseguimos, habremos demostrado la afirmación. Veamos: para cualquier número entero $m\neq 0$, si $0$ es divisor de $m$ (como hemos supuesto), entonces, por el teorema de la división de números enteros y por la definición de divisor, debería cumplirse que, existe un número entero $n$ tal que $m=0\cdot n+k$, con $k=0$ (por ser $0$, supuestamente, un divisor de $m$), esto es $m=0\cdot n$, pero el segundo miembro de la igualdad es $0$, pues $0\cdot n=0$, luego deducimos de ello que $m=0$, en contra de la suposición inicial, $m\neq 0$. En consecuencia, podemos afirmar que $0$ no es divisor de ningún número entero distinto de cero. $\diamond$

Conclusiones a partir de razonamientos con números enteros que, quizás, te sorprendan. Un ejemplo: 0 es múltiplo de cualquier número entero no nulo

¿Por qué la afirmación: cero es múltiplo de cualquier otro número entero distinto de cero es cierta?

Todo entero, $m$, distinto de cero, es divisor de $0$, ya que, de la división euclídea $0 \div m$, se tiene que $0=m\cdot 0+0$ (teorema de la división con números enteros), luego si $m\neq 0$ es divisor de $0$, entonces $0$ es múltiplo de $m$. $\diamond$

Teorema de la divisió euclídea (recordatorio para personas profesoras que trabajen en secundaria)

Recordemos el teorema de la división entera (euclídea): Para un número entero cualquiera $D$ (dividendo) y un número entero cualquiera $d$ (divisor) existen dos números enteros únicos, $c$ (cociente) y $r$ (resto) de manera que debe cumplirse las siguientes condiciones $D=d\cdot c+r$ y $0\le r \lt |d|$   $\diamond$

Ejemplo de división entera de un número entero positivo entre un número entero negativo

Cuál es el resto y el cociente de la división entera $5 \div (-3)$?

Como el dividendo es negativo y el divisor es positivo, el cociente ha de ser negativo; el número entero negativo que multiplicado por $-3$ da como resultado el número entero positivo que se acerca más a $5$ es $-1$, luego el cociente es $-1$; y, de ahí, deberá cumplirse que $5=-1\cdot (-3) + r$, donde $r$ denota el resto, luego $r=5-(-1)\cdot (-3)=2$, que es no negativo y menor o igual que el valor absoluto del divisor (en efecto, $2\lt |-3|=3$), como debe ser (teorema de la división euclídea). $\diamond$

Un ejemplo de división entera entre dos números enteros negativos

Cuál es el resto y el cociente de la división entera $-3 \div (-2)$?

Como el dividendo es negativo y el divisor también, el cociente ha de ser positivo; el número entero positivo que multiplicado por $-2$ da como resultado el número (entero) que se acerca más a $-3$ es $2$, luego el cociente es $2$; y, de ahí, deberá cumplirse que $-3=2\cdot (-2) + r$, donde $r$ denota el resto, luego $r=-3-2\cdot (-2)=-3+4=1$, que es no negativo y menor o igual que el valor absoluto del divisor (en efecto, $1\lt |-2|=2$), como debe ser (teorema de la división euclídea). $\diamond$

Un ejemplo de división entera entre un entero negativo y un entero positivo

Cuál es el resto y el cociente de la división entera $-2 \div 4$?

Como el dividendo es negativo y el divisor es positivo, el cociente ha de ser negativo; el número entero negativo que multiplicado por $4$ da como resultado el número (entero) que se acerca más a $-2$ es $-1$, luego el cociente es $-1$; y, de ahí, deberá cumplirse que $-2=4\cdot (-1) + r$, donde $r$ denota el resto, luego $r=-2-4\cdot (-1)=-2+4=2$, que es no negativo y menor o igual que el valor absoluto del divisor (en efecto, $2 \lt |4|=4$), como debe ser (teorema de la división euclídea). $\diamond$