Recuento de monedas de diversos valores. Agrupación/clasificación, multiplicación y suma

Imaginemos un monedero olvidado en un cajón, lleno de monedas de diverso valor; la hay de $1$, de $2$, de $5$ y de $10$ céntimos de euro, y también hay algunas de $1$ euros y de $2$ euros. Vaciamos el monedero sobre la mesa y contemplamos el montón de esas diversas piezas. Enseguida nos planteamos una pregunta, ¿cuál es el valor (en euros) de nuestro tesoro? ¿cuál es la mejor estrategia para contarlo?

La manera eficiente de contar la cantidad total de dinero consiste en agrupar las monedas por valor (en grupos homogéneos), poniendo pues todas la monedas de $1$ céntimo de euro juntas, las de $2$ céntimos de euro en otro montoncito, las de $5$ céntimos en otro grupo, las de $1$ euro en otro, y las de $2$ euros en otro montón. A continuación, contaremos el número de monedas que tienen el mismo valor, grupo por grupo; luego multiplicaremos el número de monedas de cada montón el valor por el valor de las monedas del mismo. Y, finalmente, sumaremos esas cantidades. Veámoslo con un ejemplo:

Supongamos que, al clasificar las monedas, haciendo los cinco montones, nos hemos encontrado con: $32$ monedas de un $1$ céntimo de euro; $78$ monedas de $2$ céntimos de euro; $24$ monedas de $5$ céntimos de euro; $4$ monedas de $1$ euro, y$3$ monedas de $2$ euros. Bien, recordando que $1$ céntimo de euro se puede escribir como $0,01$ euros, la cantidad de dinero (medido en euros) que contenía el monedero es: $(32\cdot 1 +78\cdot 2 + 24\cdot 5)\cdot 0,01 + 4\cdot 1 + 3\cdot 2=3,08+4+6=13,08\,\text{euros}$; es decir, $3$ euros y $8$ céntimos de euro.

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Comentario:

Salvando las monedas de $1$ euros y de $2$ euros, que son fáciles de contar, muchas personas se lían al contar las monedas pequeñas, agrupándolas de manera heterogénea, por ejemplo, hasta formar un cierto número de grupitos, pongamos que cada uno con un valor de $1$ euro. Si en el monedero hay muchas monedas pequeñas, será muy probable que se equivoquen si utilizan esta estrategia, incluso que se hagan un lío tal (es fácil confundir una moneda de un céntimo de euro con una de dos céntimos) que se queden bloqueadas, y tengan que volver a empezar. La estrategia, y el método que he expuesto, me parece el más rápido, cómodo y seguro. Probad a ponerlo en práctica en una situación real, y probad a hacerlo también de otras maneras/estrategias. $\diamond$

Acerca de la noción de densidad de masa

Considera una determinada sustancia, la que quieras, ya sea ésta simple o compuesta, por ejemplo: hierro, agua, aire; lo que sea. La masa de dicha sustancia dividida por el volumen que ocupa es lo que denominamos densidad de dicha sustancia. Lógicamente, cualquier muestra de una misma sustancia tendrá la misma densidad.

Así, por ejemplo, si consideramos un bloque de hierro compacto de $7870$ kilogramos, veremos que, al medir el volumen que ocupa, éste es de 1 metro cúbico, por lo que podemos decir que la densidad del hierro es de $7870\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$.

Este concepto, el de densidad, es muy útil, pues si de una determinada sustancia conocemos dicho dato, podemos saber cuál es la masa de una cierta cantidad de la misma si conecemos el volumen que ocupa, sin necesidad de medirla directamente; por ejemplo, sabemos que la densidad del corcho es de $257\, \dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, luego $3$ metros cúbicos de corcho tienen una masa de $3\,\text{m}^3 \cdot 257\, \dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} = 771\, \text{kg}$. $\diamond$

Otra actividad de estudio del despliegue y plegado de un embalaje en forma de prisma recto de base cuadrada

Ideas para diversos usos didácticos de los embalajes de cartón

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Despliegue (desarrollo plano) de un caja de embalaje que tiene forma de prisma recto de base rectangular

Una bonita actividad de medida y cálculo consiste en pedir a los alumnos que midan las magnitudes necesarias para, a continuación, realizar un dibujo en perspectiva del embalaje (montado) y calcular la capacidad, el área de la superficie exterior del mismo, y, también, estimar la masa del conjunto, consultando previamente cuál es la densidad del cartón.

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Número de múltiplos enteros positivos de un cierto número $k$ que son menores o iguales que un número $m$ mayor o igual que $k$

Existe un caso que no merece mucho interés: si $k=m$, el número pedido de múltiplos es sólo uno, que es el propio $k$ (que a su vez es igual a $m$). Ocupémonos a continuación del resto de casos, que son los interesantes.

Trabajaremos con los números enteros positivos. Empecemos experimentando un poco. Para ello, hablemos de números que sean múltiplos, pongamos que de $3$ (sin pérdida de generalidad, como veremos, si considerásemos múltiplos de otro número distinto) y menores que un cierto número (mayor o igual que $3$, claro). Empecemos con un caso muy sencillito, para el que podamos hacer un recuento del número de múltiplos que encontremos (primero los encontraremos y después contaremos cuántos hay): pongamos que queremos determinar el número de divisores enteros positivos múltiplos de $3$, menores o iguales que $7$. No hace falta esforzarnos mucho: son los siguientes $3$ y $6$ (no hay más); en efecto, los dos números son múltiplos de $3$, pues la división entera (euclídea) de cada uno de ellos entre $3$ da resto igual a $0$, y ambos son menores que $7$, por tanto el número pedido de múltiplos de $3$ menores que $7$ es dos.

Parece que no vaya a haber ninguna dificultad si lo queremos hacer con otros valores; sin embargo, veamos que esto no es así. Responder a una pregunta de este estilo, y hacerlo de esta manera (encontrando todos los múltiplos y haciendo, después, un recuento de los mismos), es trabajoso si el número dado (del que no podemos pasar) es relativamente grande (no como el el tope igual a $7$, que es pequeño). Pogamos, por ejemplo, que dicho número sea $1036$. ¿A que ya no resulta tan fácil, ahora? Encontrar los múltiplos (para contarlos después uno a uno) es posible, pero es costoso. Es pues bien claro que tendremos que encontrar un procedimiento más corto, más elegante, y por tanto, un procedimiento eficiente. Veamos cuál puede ser.

En el primer caso expuesto (para contar el número de múltiples de $3$ menores que $7$), démonos cuenta, desde otro punto de vista, de que son dos (los que hemos encontrado) porque, al hacer la división entera (euclídea) entre la diferencia de $7$ (el mayor) y $3$ (el de partida) —que es igual a $4$— entre $3$, obtenemos el número de saltos de longitud $3$ que tenemos que dar partiendo del más pequeño, $3$, para acercarnos lo más posible al número tope, $7$. En este caso tan sencillo, es claro que hay un sólo salto (el cociente de la división euclídea entre $4$ y $3$ es $1$), con lo que habrá dos números múltiplos de $3$, el del principio (del salto) y el del final del mismo (que es $6$); esto es, una unidad más que el número de saltos que hemos tenido que dar.

Por tanto, en un caso general, debermos sumar una unidad al número de saltos para obtener el número de múltiplos pedido que sea menor (o igual) que el número dado.

Este número de saltos podemos obtenerlos de manera directa sirviéndonos de nuestra vieja amiga la división euclídea (división con números enteros), pues, como hemos visto, es igual al cociente de dicha división. Así pues, en general, el número de múltiplos de $\ell$ menores o iguales que $m$ (siendo $\ell \le m$) es igual al cociente de la división euclídea, esto es $$\text{número de múltiplos de}\,\,k\,\,\text{menores o iguales que}\,\,m\,\,=\text{cociente}\left((m-k) \div k\right)+1$$

Podemos pues responder ya a la segunda pregunta: hay $346$ múltiplos de $3$ menores que $1036$. En efecto, al ser el cociente de la división $(1\,036-3) \div 3$ (número de saltos de longitud $3$ que hay que dar partiendo del $3$ hasta acercarnos tanto como podamos a $1036$) igual a $344$, luego el número de múltiplos de $3$ menores o iguales que $1036$ (en este caso, serán menores, por no ser el propio $1036$ un múltiplo de $3$) es $344+1=345$.

Otro ejemplo: ¿cuántos múltiplos de $11$ menores que $2\,129$ hay? Ahora ya es muy fácil responder a prenguntas de este estilo: como el número de saltos de longitud $11$ entre el propio $11$ (que es el múltiplo de $11$ más pequeño) y $2\,129$ es igual al cociente de la división euclídea $(2\,129-11) \div 11$, que es $192$, entonces el número pedido de múltiplos (de $11$) menores que $2\,129$ es $192+1=193$.

Si nos fijamos bien en lo que hemos hecho, vemos que existe una variante aún más directa: al dividir (división euclídea) el número tope entre el número de multiplicidad, el cociente nos da, sin más, el número de múltiplos pedido, esto es: $$\text{número de múltiplos de}\,\,k\,\,\text{menores o iguales que}\,\,m\,\,=\text{cociente}(m\div k)$$

*** Comentario: Otra manera de expresar esto es mediante lo que llamamos parte entera de un número decimal, esto es, el caso que nos ocupa: el número entero menor más y más próximo al resultado (en principio, decimal) de la división decimal $m/k$, y lo denotamos de la forma $\text{Ent}(m/k)$ o, también, así: $\left[m/k\right]$.
*** Así, por ejemplo, para los tres casos expuestos:

• El número de múltiplos de $3$ menores (o iguales) que $7$ es $\text{cociente}(7\div 3)=2$; o lo que es lo mismo: $\text{Ent}(7/3)=\text{Ent}(2.5)=2$.
• El número de múltiplos de $3$ menores (o iguales) que $1\,036$ es $\text{cociente}(1\,036 \div 3)=345$; o lo que es lo mismo: $\text{Ent}(1036/3)=\text{Ent}(345.3333\ldots)=345$
• El número de múltiplos de $11$ menores (o iguales) que $2\,129$ es $\text{cociente}(2\,129 \div 11)=193$; o lo que es lo mismo: $\text{Ent}(2129/11)=\text{Ent}(193.545454\ldots)=193$
• ...

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De lluvias y aljibes

Estaba el otro día pensando en aljibes —un aljibe es un depósito de agua tradicionalmente destinado a recoger el agua de la lluvia—, y me preguntaba por la cantidad de agua que se podría recoger de la lluvia torrencial que cayó hace pocos días (con intensidad constante) durante $90\,\text{min}$, y que según los datos registrados tuvo una intensidad de $70$ milímetros por metro cuadrado. Pensaba en concreto en un aljibe que tenía forma de prisma recto de base rectangular de $20\,\text{m}^2$ y $1\,\text{m}$ de profundidad.

Recordemos que la precipitación se mide en milímetros de agua, o litros caídos por unidad de superficie (metro cuadrado) durante $1$ hora; es decir, se expresa de esta manera la altura de la lámina de agua recogida en una superficie plana en milímetros (por metro cuadrado) en una hora. Obsérvese por tanto que $1$ milímetro de agua de lluvia precipitada por metro cuadrado equivale a $1$ litro de agua (por metro cuadrado). En efecto, basta considerar un cuadrado de $1$ metro cuadrado de área, como base de un cubo de $1$ metro de arista, teniendo por tanto dicho cubo imaginario un volumen de $1\,\text{m}^3=1\,000\,\text{dm}^3$; así, si el agua de la lluvia lo llenase por completo, recogeríamos $1\,000\,\text{L}$, de agua, ya que $1\,\text{L}$ (capacidad) equivale a $1\,\text{dm}^3$ de volumen continente. Por consiguiente, al decir que ha caído $1\,\text{mm}$ de precipitación, nos referimos a una cantidad de lluvia de una milésima parte de $1\,000\,\text{L}$, esto es, por cada milímetro de grosor de la lámina de agua de lluvia se puede almacenar $1\,\text{L}$ de agua.

Así pues, según los datos de la precipación en cuestión, y teniendo en cuenta que $90\,\text{min}=1,5\,\text{h}$, y que por tanto cayeron $1,5\cdot 70\,\dfrac{\text{L}}{\text{m}^2}=105\,\dfrac{\text{L}}{\text{m}^2}$ en ese tiempo, al tener el aljibe un área rectangular abierta $20\,\text{m}^2$, se pudieron almacenar $105\,\dfrac{\text{L}}{\text{m}^2}\cdot 20\,\text{m}^2=2\,100\,\text{L}$. $\diamond$

-oOo- Para saber más acerca de las lluvias:
  [1] AEMET, Resumen del registro de precipitaciones en España (6/10/2022)
      [https://www.aemet.es/es/serviciosclimaticos/vigilancia_clima/resumen_precipitaciones].

Un sencillo programa con Scratch sobre la divisibilidad de números enteros

Te sugiero que crees una cuenta de usuario en Scratch [https://scratch.mit.edu/] (es gratuita). Practica y disfruta escribiendo programas; para empezar, que sean sencillos. Es una herramienta más para aprender matemáticas.

Aquí tienes un sencillo ejemplo sobre divisibilidad (números enteros). Anímate a reproducirlo y a escribir tus propios programas.

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