Ejemplo de aplicación del algoritmo japonés de multiplicación en una imagen

El algoritmo de la multiplicación hindú en una image

Un ejemplo de código de detección de error: la letra del NIF

Habréis reparado en el último símbolo del NIF, que, a excepción de los ocho números a su izquierda, es una letra. Ésta responde a una asociación del resto de dividir el número de ocho cifras entre $23$ y sirve para comprobar que no se ha producido ningún error al facilitar el documento en una operación administrativa; si la letra facilitada junto con las ocho cifras no coincidiese con la que debe ser según la que le corresponde de acuerdo al resto ( por haber dado mal una de las cifras), sin duda se pondria de manifiesto el error, al obtener una letra distinta a la consignada. Las letras asociadas a los distintos restos son las siguientes:

-----------
Resto|Letra
-----------
  0  |  T 
  1  |  R
  2  |  W
  3  |  A 
  4  |  G 
  5  |  M 
  6  |  Y
  7  |  F 
  8  |  P 
  9  |  D 
 10  |  X 
 11  |  B 
 12  |  N
 13  |  J 
 14  |  Z
 15  |  S
 16  |  Q
 17  |  V
 18  |  H
 19  |  L
 20  |  C
 21  |  K
 22  |  E 

Así por ejemplo el NIF 789 260 31 J es correcto, pues el resto de la división $789 260 31 \div 23$ es $13$ y, según la tabla, la letra asociada es, efectivamente, la J; sin embargo, el 671 943 11 Q sería incorrecto ya que $671 943 11 \div 23$ es $18$, luego, de acuerdo con la tabla, no le corresponde la letra Q sino la H.
$\square$

Demostración china del teorema de Pitágoras

La demostración que vamos a ver parece ser que proviene de China, y es anterior a la demostración que aparece en los Elementos de Euclides. En su versión original se trataria de recomponer en cuadrado en cuatro triángulos rectángulos iguales y un cuadrado más pequeño, a la usanza del clásico juego del Tangram. Sea un triángulo rectángulo, como el de la figura 3. Vamos a justificar que la longitud de la hipotenusa elevada al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos, esto es, y tal como se han designado los lados del triángulo rectángulo, se tiene que $$a^2=b^2+c^2 \quad \quad (1)$$

Veamos la razón de ésto. Fijémonos en la figura 1. El lado del cuadrado mayor, tiene una longitud igual a $b+c$, luego su área es igual a $(b+c)^2$; ahora bien, como este cuadrado se descompone en un cuadrado cuyo lado tiene longitud $a$ y cuatro triángulos rectángulos iguales de catetos, de longitudes respectivas $b$ y $c$, podemos escribir que $$(b+c)^2=a^2+4\cdot \dfrac{b\,c}{2}$$

Fijémonos ahora en la figura 2. Se trata del mismo cuadrado cuyo lado tiene longitud $b+c$; sin embargo, vemos ahora otra descomposición del mismo en dos cuadrados y dos rectángulos iguales, así pues $$(b+c)^2=b^2+c^2+2\, b\,c$$ que es el primer miembro de (1), luego se desprende de ellos que $$b^2+c^2+2\, b\,c= a^2+4\cdot \dfrac{b\,c}{2}$$ esto es $$b^2+c^2+2\, b\,c= a^2+2\,b\,c$$ y simplificando, llegamos a $$b^2+c^2=a^2$$, como queríamos demostrar. Ésta es la relación que liga los dos catetos con la hipotenusa de la figura 3.

Ejemplo de aplicación del teorema de Pitágoras.
ENUNCIADO. Sea un triángulo rectángulo cuyos catetos miden $6$ y $8$ decímetros, respectivamente. ¿ Calcúlese la longitud de la hipotenusa ?
SOLUCIÓN. Llamemos $x$ a la longitud de la hipotenusa, que queremos calcular. Según lo que acabamos de justificar, podemos escribir que $x^2=6^2+8^2$, esto es $x^2=36+64$, y por tanto $x^2=100$. Y como $100=10\cdot 10$, se desprende de ello que $x=10$ decímetros.

Observación 1. Toda terna de números enteros positivos no nulos $(a,b,c)$, con la que se cumpla el teorema de Pitágoras, se dice que es una terna pitagórica. Otra terna pitagóricas es $(3,4,5)$, ¿ te animas a buscar más ? ¿ cuántas habrá ?.

Observación 2. Los antiguos egipcios utilizaban cuerdas con nudos consecutivos equidistantes para escuadrar dos rectas en las parcelaciones y construcciones; para ello, les bastaba con seleccionar una terna pitagórica con los números de espacios entre nudos consecutivos de la cuerda, por ejemplo escogiendo un conjunto de $3$, $4$ y $5$ espacios entre nudos ( consecutivos y equidistantes ).

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Cálculo del tanto por ciento de descuento a partir de la cantidad a pagar y del precio original del artículo ( rebajado )

Cálculo de la tasa de variación

Ejemplos de cálculos con números enteros empleando GeoGebra