Geometría «de campo». Determinación de la dirección Norte-Sur, mediante sombras ( método de Vitrubio [arquitecto romano] )

El método que empleaba el arquitecto romano Vitrubio para determinar el Norte geográfico invita a realizar una bonita e interesante actividad fuera del aula. Se puede utilizar este método en un día soleado, pues se sirve de la sombra de un bastón plantado en posición vertical a un plano (suelo) horizontal.

Consiste en plantar un palo vertical por la mañana ( antes del paso del Sol por el meridiano del lugar ), comprobando la verticalidad con una plomada. Primero, marcaremos el extremo de la sombra del palo ( sobre el plano horizontal ).

A continuación, con la ayuda de un hilo, trazamos un arco de circunferencia con centro en la base del palo y radio igual a la longitud de la sombra medida, pasando pues por el punto marcado, y abarcando el suficiente ángulo central para que, esperando el tiempo necesario, veamos el extremo de la sombra volviendo a intersecar la circunferencia, lo cual, lógicamente, se producirá por la tarde, en algún instante después del mediodía.

Trazando ahora el segmento que pasa por los dos puntos de intersección con la circunferencia (con la ayuda de un hilo estirado, a modo de compás), determinaremos la dirección Este-Oeste. Así, pues, la mediatriz de dicho segmento (que a su vez es la bisectriz del ángulo con vértice en la base del palo) nos indicará la dirección Norte-Sur.

Puede que, como actividad de geometría "de campo", tenga interés didáctico en matemáticas, ciencias experimentales y geografía.

Material:
Nos bastarán unos hilos ( cordeles ), un palo, y algún tipo de trazador ( tiza, por ejemplo ) para el arco de circunferencia y par los segmentos de recta de los que hemos hablado. -oOo- Referencias:
  [1] https://es.wikipedia.org/wiki/Vitruvio, Wikipedia

Pepe el pastor, una cabra, un lobo, un atillo de hierba, un río y una barca de dos plazas

ENUNCIADO. Un río divide a un prado en dos partes. Pepe —llamémosle p, de manera abreviada— está en una de las dos orillas (pongamos que en la orilla izquierda), junto con un capazo de hierba (h), una cabra (c), y un lobo (l). Para pasar a la otra orilla, Pepe tiene una barca, en la que puede llevar en cada viaje solamente el capazo, o sólo la cabra, o bien solamente al lobo. Pepe quiere cambiar de orilla, cambiando también de orilla a la cabra, al lobo, y al capazo de hierba. Ya se sabe que, si Pepe no los vigila, la cabra puede comerse la hierba del capazo, y el lobo a la cabra. ¿ Cómo diseñarías los viajes necesarios para trasladarlos a todos a la otra orilla ?

SOLUCIÓN. En cada viaje de una orilla a la otra, hay que tener en cuenta que, como Pepe tiene que dejar en la orilla (a la que ha llegado) algunos de los tres mientras vuelve a buscar otro a la orilla de partida, debe cuidar que no se queden la cabra y la hierba juntos, pues la cabra se comería la hierba; y, lo mismo en relación a la cabra y al lobo, pues el lobo se comería a la cabra. Teniendo en cuenta estas cosas, vamos a utilizar una simbología apropiada para ir pensando en la solución:

Primer paso:
    $[p,l,c,h | ]$ Están todos en la orilla izquierda, que es la situación inicial

Segundo paso:
    $[l,h | p,c]$ El lobo y la hierba se quedan en la orilla izquierda, mientras Pepe se lleva a la cabra a la orilla derecha

Tercer paso:
    $[l,h,p | c]$ Pepe vuelve (solo) a la orilla izquierda y deja a la cabra en la orilla derecha

Cuarto paso:
    $[l | c,h,p]$ Pepe se lleva la hierba a la orilla derecha y deja al lobo en la orilla izquierda

Quinto paso:
    $[l,p,c | h]$ Pepe lleva a la cabra de la orilla derecha a la izquierda y deja solamente la hierba en la orilla derecha

Sexto paso:
    $[c | h,l,p]$ Pepe lleva al lobo a la orilla derecha, en la que ya estaba la hierba, y deja a la cabra sola en la orilla izquirda

Séptimo paso:
    $[c,p | h,l]$ Pepe vuelve (solo) a la orilla izquierda a buscar a la cabra, dejando al lobo y la hierba en la orilla derecha

Octavo y último paso:
    $[ | p,c,h,l]$ Pepe lleva al lobo a la orilla derecha, quedando todos en ésta.

$\square$

En un corral hay conejos y gallinas ...

ENUNCIADO. En un corral en el que hay gallinas y conejos se contabilizan $100$ patas y $30$ cabezas. ¿ Cuántas gallinas hay ? ¿ Cuántos conejos ?

SOLUCIÓN. Denotemos por $g$ el número de gallinas. Como cada gallina tiene $2$ patas y $1$ cabeza, y cada conejo tiene $1$ cabeza y $4$ patas, podemos escribir que, según el enunciado, el número de conejos es igual a $$30-g$$ y por lo que se refiere al número de patas en total (las de las gallinas más las de los conjejos) se cumple que $$4\,(30-g)+2\,g=100$$ esto es $$120-4g+2g=100$$ luego $$20=2\,g$$ con lo cual, el número de gallinas es $$g=10\,\text{gallinas}$$ de donde deducimos que hay $30-10=20\,\text{conejos}$
$\square$

Un algoritmo básico para dividir números enteros positivos n div m, donde n>=m

procedimiento dividir(n,m)
{
  c:=0; // inincializa el contador del cociente
  mientras n>=m hacer
    {
      n:=n-m; // actualiza el residuo
      c:=c+1; // actualiza el contador del cociente
    }
  escribir("cociente=",c);
  escribir("resto=",n);
}