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martes, 7 de noviembre de 2017

División con números enteros

ENUNCIADO. Calcúlese el cociente y el resto de la división entera 11 \div (-3)

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Recordemos el teorema de la división entera (euclídea). Sean a y b\neq 0 números enteros, entonces existen otros dos números enteros, únicos, c ( al que llamamos cociente) y r (al que llamamos resto), tales que al realizar la división a \div b (llamamos dividendo a a y divisor a b), se cumple:
      i) a=b\cdot c+r
      ii) r es positivo o cero y menor que \left| b \right|

Observación: Si \left|a\right| \prec \left|b\right|, entonces c=0 y r=a
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SOLUCIÓN.
Teniendo en cuenta que el dividendo es positivo y el divisor es negativo, el cociente ha de ser negativo; ensayemos pues un número negativo (para el cociente) tal que al multiplicarlo por el divisor resulte un número menor o igual que el dividendo ( si es menor, habrá de ser lo más cercano posible ): así, vemos que -4)\cdot (-3)=+12 \succ 11, luego no podemos tomar -4, así que probaremos con -3: (-3)\cdot (-3)=+9\prec 11, luego diremos que c=-3 y que el resto es r=11-(-3)\cdot (-3)=2

Nota: Comprobemos las dos condiciones que deben cumplirse:
i) (-3)\cdot 3+3=11
ii) 2 \prec \left|-3\right|=3
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