¿Cuántos divisores positivos de $36$ hay?

¿Cuántos divisores tiene $36$? Vamos a responder a esta pregunta viendo primero cuáles son los divisores primos, para, después, calcular el número total de divisores, sin necesidad de decir quiénes son dichos divisores.

Observemos que los divisores primos de $36$ son $2$ y $3$; en efecto, al factorizar $36$, encontramos que $36=2^2\,\cdot 3^2$. Fijémonos ahora en los exponentes de las potencias de dichos números primos: $2$ para el exponente de la potencia de base $2$, y $2$ también para el exponente de base $3$; quiere decir ésto que hay tres divisores de $2^2$ (esto es, de $4$), que son $1$, $2$ y el propio $4$; y hay tres divisores de $3^2$ (esto es, de $49$), que son $1$, $3$ y el propio $9$. Si emparejamos los tres de un grupo de divisores con los tres del otro grupo de divisores —dibujar un sencillo diagrama de árbol puede ayudar en el caso de que no lo veamos claro— encontramos un total de $9$ divisores (y no hay ni más ni menos), ya que los tres de uno de los grupos de divisores por los otros tres del otro grupo ha de ser igual al número total de divisores de $36$.

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Observación: Démonos también cuenta de que el número total de divisores podemos calcularlo de un modo más rápido multiplicando los exponentes que aparecen en cada potencia con base un número primo (que aparecen en la factorización del número pedido), habiéndoles sumado préviamente la unidad, habida cuenta de que el $1$ es divisor de cualquier número, de ahí que salga repetido en los dos grupos de divisores que primero hemos encontrado( tanto del de $4$ como del de $9$). Entonces, pues, en el caso de $36$, vemos que hay $(2+1)\cdot (2+1)=3\cdot 3=9$ divisores positivos, como ya hemos visto arriba. Así, por ejemplo, el número total de divisores de $180$, que factorizado es igual a $2^2\cdot 3^2 \cdot 5^1$, tiene éste $(2+1)\cdot (2+1) \cdot (1+1)=18$ divisores positivos.

Nota: Si en lugar de interasarnos sólo por los divisores positivos, quisieramos saber el número total de divisores de dicho número (incluyendo los divisores negativos), bastaría multiplicar por $2$ el resultado obtenido, pues por cada divisor positivo, su opuesto también es divisor del número pedido; así, el número total de divisores de $32$ (teniendo en cuenta los positivos y, también, los negativos) es $9\cdot 2=18$. $\diamond$

Una cuestión sencilla sobre divisibilidad

¿Es $102$ divisible por $6$? Tratemos de responder a esta pregunta sin hacer explícitamente la división entre $6$ (para ver si el resto de la división es o no es igual a cero)

Es claro que $102$ es divisible por $2$, pues su última cifra, que es $2$, es par. Por otro lado, si sumamos todas las cifras de $102$, obtenemos $1+0+2=3$, que, desde luego, es múltiplo de sí mismo, es decir, de $3$, luego $102$ es también múltiplo de $3$. Y como $102$ es múltiplo de $2$ y de $3$, también lo es de $2\cdot 3$, esto es, es múltiplo de $6$.

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Observación: De lo dicho anteriormente podemos extraer una conclusión importante sobre la divisibilidad de un número y sus divisores. Si un cierto número es divisible por $m$ y también por $n$ (no importa si $m$ y $n$ son o no números primos), entonces también es divisible por $m\cdot n$. Por ejemplo, sabemos que $9$ y $4$ son divisores de $180$, luego dicho número también es divisible por $4\cdot 9=36$, lo cual podemos comprobar fácilmente. $\diamond$