Los divisores de $60$ y las fracciones de tiempo

Al medir el tiempo y expresar sus cantidades en el sistema sexagesimal los divisores de $60$ cobran importancia. Los temporizadores de arena con ampolletas (o relojes de arena) permiten fraccionar una cierta cantidad de tiempo entre dos sucesos, como hacemos con un cronómetro, pero con instrumentos de arenas de distintos colores (como los de la figura). Antes de la aparición de los relojes de péndulo, ésta era la manera más común de medir el tiempo, ya fuese a bordo de un velero, surcando el océano, entre turnos de guardia, o en un obrador de artesano, controlando la cocción de los alimentos, por poner sólo un par de ejemplos. Ni que decir tiene que, hoy en día, acostumbrados a manejar relojes modernos, los viejos relojes de arena parecen un anacronismo inútil, pero lo cierto es que los podemos utilizar para aprender el funcionamiento de la medida del tiempo al fraccionarlo en horas, minutos y segundos, operando con los divisores de $60$, añadiendo (sumando), restando, multiplicando y dividiendo.

El utilizar los relojes de arena es un bonito juego para niños que permite practicar el cálculo con los divisores de $60$. En la imagen vemos seis ampolletas, de valores respectivos: $1$, $3$, $5$, $10$, $15$ y $30$ minutos, que son divisores de $60$. No son, no obstante, todos los divisores de $60$, pues en total hay $12$; en efecto, como $60=2^\mathbf{2} \cdot 3^{1} \cdot 5^{1}$, el número total de divisores (positivos) es igual a $(\mathbf{2}+1)\cdot (\mathbf{1}+1)\cdot (\mathbf{1}+1)=3\cdot 2 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$. Podemos encontrarlos con la ayuda de un diagrama de árbol, como ya hemos hecho muchas veces con otros números, y podéis comprobar que son los siguientes: $$\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 \}$$ Los divisores que faltan podemos obtenerlos combinando estos seis; así, por ejemplo, para medir un intervalo de $60$ minutos, bastará con darle la vuelta al reloj de $30$ minutos inmediatamente después de que toda la arena pase al recipiente inferior, y esperar a que se vuelva a vaciar. Otro ejemplo: para medir un intervalo de $2$ minutos, bastará hacer lo mismo que antes con el relojde $1$ minuto, o, también (y de manera más interesante), podemos poner en vaciado a la vez el de $5$ minutos y el de $3$ minutos, haciendo una operación de resta: inmediatamente después de haberse vaciado el de $3$ minutos, lo que queda por vaciar del de $5$ minutos corresponderá precisamente a esos $2$ minutos en cuanto acabe éste de vaciarse. Y así, podemos practicar y jugar, con muchas otras operaciones aritméticas.

Créditos de la imagen: The Twiddlers, un juego de relojes de arena

Todos los relojes de arena, al igual que cualquier otro instrumento de medida, tienen por supuesto un error que hay que considerar al realizar las medidas. Esa es otra parte del juego que lleva a un aprendizaje de gran riqueza experimental y de rigor, el del control del error de medida, que invito a que se practique en casa o en la escuela. $\diamond$

Los divisores de $10$ en las monedas y los billetes

Si vaciáis un monedero repleto de las monedas que se guardan de las vueltas en las compras, comprobaréis que, si el monedero contiene piezas de todo tipo, entre las que tienen un valor inferior o bien igual a $10$ céntimos de euro solamente las encontraréis de cuatro tipos, y algo parecido ocurre con la cuantía de los billetes (de valor igual o superior a $10$ euros)

Veréis que hay monedas de $1$ céntimo de euro, de $2$ céntimos, de $5$ céntimos, y las de $10$ euros. Reparemos en el hecho de que estos valores són precisamente los divisores de $10$ (de diez céntimos de euro); en efecto, como $10=2^\mathbf{1}\,5^\mathbf{1}$, sabemos que hay exactamente $(\mathbf{1}+1)\cdot (\mathbf{1}+1)=2\cdot 2= 4$ divisores, que no son otros que $\{1,2,5,10\}$ (céntimos de euro). Así, diez piezas de $10$ céntimos, hacen un total de $10\cdot 10=100$ céntimos, esto es, $1$ euro; veinte piezas de $5$ céntimos, hacen un total de $20\cdot 5=100$ céntimos, esto es, un euro; cincuenta piezas de $2$ céntimos, hacen un total de $50\cdot 2=100$ céntimos, esto es, $1$ euro, y cien piezas de $1$ céntimo, hacen un total de $100\cdot 1=100$ céntimos (un euro).

Algo parecido ocurre con las piezas cuyos valores son del orden de las decenas de euros. Comprobaréis que solamente las hay de cuatro tipos: monedas de $10$, $20$, $50$ y de un euro (esto es de $100$ céntimos). También sucede algo parecido con el valor de los billetes (que tienen valores iguales superiores a diez euros): los hay de $10$, $20$, $50$ y $100$ euros. Y, entre cien y mil, hay billetes de $200$ euros, y, aunque ya se ven menos en circulación, también hay billetes $500$, y, hasta hace poco, los había de $1000$ euros.

En definitiva, como véis, la cuantía de las monedas/billetes es la de múltiplos de diez. Y esto es así, porque de este modo se optimiza la capacidad de combinar monedas y billetes para sumar cualquier cantidad con una precisión de una centésima de euro. $\diamond$